Integral og integrasjon

Abstract

Integrasjon og derivasjon er to viktige begreper som blir behandlet i den videreg˚aende skolen. Nesten uten unntak blir derivasjon introdusert før integrasjon. Sannsynligvis fordi man tenker seg at derivasjon er lettest. Jeg mener integrasjon har en enklere geometrisk tolkning enn derivasjon. Det er lettere ˚a se for seg et areal, enn stigningen til en graf i et punkt. I den videreg˚aende skolen ligger ikke fokuset p˚a den geometriske tolkningen av integralet, men heller p˚a den mer tekniske biten som blir kalt antiderivasjon. I Kapittel 1 diskuterer vi fordeler og ulemper med denne fremgangsm˚aten. Resten av oppgaven skal prøve ˚a gi en begrepsmessig innføring i forskjellige integrasjonsteorier. Oppbygningen følger en ganske kronologisk tankegang. Vi starter med de teoriene mange kjenner fra før. I Kapittel 2 gjennomg˚ar vi integrasjonsteorier som ikke trenger en etablert m˚alteori. Dette er Newtonsog Riemanns teorier, samt litt om Stieltjes integral. Vi sammenlikner disse, og ser p˚a oppbygning og bruksomr˚ader. Fokuset ligger i ˚a prøve ˚a gi en forst˚aelse av begrepene som naturlig dukker opp. Kapittel 3 tar for seg utviklingen av m˚al- og integrasjonsteorien fra Riemann til Lebesgue. Jeg bruker historien aktivt for˚a motivere begrepene som trengs for ˚a etablere m˚alteorien. I Kapittel 4 ser vi p˚a oppbygningen av Lebesgues teori. Her blir relevant m˚alteori forklart, og Lebesgue-integralet blir definert. Jeg prøver˚a gi et bilde av den nye teorien ved ˚a sammenlikne den med Riemanns teori. I det siste kapitlet g˚ar jeg litt videre mot mer generell m˚alteori. Ser p˚a hvordan et generelt m˚alrom er bygd opp, og hvordan vi kan konstruere slike ved hjelp av Caratheodory-utvidelse. Vi f˚ar se et eksempel p˚a hvordan m˚alteorien kan bli brukt for ˚a beskrive sannsynlighetsteori. Til slutt har jeg med en liten introduksjon til et generalisert Riemann integral som første gang ble introdusert i 1912 av Arnaud Denjoy. En av fordelene med dette integralet er at det kan invertere alle deriverte funksjoner.