Noen aspekter ved implementasjon og ytelse for kryptosystemer basert på elliptiske kurver

Abstract

I den senere tid har kryptografi basert på elliptiske kurver blitt tatt i bruk i økende grad. De fleste av dagens implementasjoner baserer seg på kurver på Weierstrassform, y2z + a1xyz + a3yz2 = x3 + a2x2z + a4xz2 + a6z3. Hesseform av elliptiske kurver, x3 +y3 +z3 = Dxyz, har en del egenskaper som gjør den velegnet til bruk i kryptografi. Basert på antall grunnoperasjoner som utføres i algoritmene, bør Hesseform være bedre enn Weierstrassform ytelsesmessig. I dette arbeidet utfører vi en del hastighetstester av punktoperasjoner på kurver på kort Weierstrass- og Hesseform. Vi har implementert algoritmer for punktaddisjon, punktdobling og punktmultiplikasjon for både kort Weierstrassform og Hesseform. I disse testene har vi begrenset oss til bare å behandle kurver over kropper med primtallskarakteristikk. For å kunne utføre testene har vi bruk for kurver på både kort Weierstrassform og Hesseform som er birasjonale med hverandre. Vi har derfor laget konverteringsfunksjoner for kurver mellom de to formene. For å teste disse funksjonene har vi også laget en fullstendig oversikt over elliptiske kurver på Hesseform med karakteristikk mellom 5 og 23, hvor vi blant annet angir korresponderende kurver på kort Weierstrassform, og kommenterer gruppestrukturen. Vi har laget en funksjon for å finne elliptiske kurver på Hesseform som egner seg for bruk i kryptografi. Vi har generert noen kurver over kropper med karakteristikk med lengde 160 bit og 240 bit som vi har konvertert til kort Weierstrassform, og disse danner grunnlag for ytelsestestene. Vi ser på en del aspekter ved punktmultiplikasjonsalgoritmer, bruk av blandede koordinater, og forhåndslagring av doblede punkter. Vi ser på teoretiske kjøretider basert på antall grunnoperasjoner i algoritmene, og sammenligner disse med våre målte verdier. Vi observerer at Hesseform vinner ytelsesmessig på de fleste punkter, og bør dermed være velegnet for videre vurdering for bruk i kryptosystemer basert på elliptiske kurver.